女士们先生们看过来！圆在古今设计应用中的奇妙之旅
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
自古以来，围绕圆形展开的创作活动，持续吸引着几何学者与匠人的目光。本文概述了自古代以来，与圆形相关的各类设计及其应用，涵盖了从几何学论证到装饰品制作等多个方面。
早期的圆圈应用
曲线形态拥有独特的视觉魅力，众多拥有不同文化底蕴的创作者纷纷将其融入作品之中，通过多样化手法加以表现。可以说，首个呈现非线性特征的构成成分，源自某位不知名的远古先民，在沙地或泥地上用木棍描绘出能够实现全方位回旋的图形。这标志着实用性与装饰性功能的结合迈出了第一步。
范·布鲁梅伦的著作《天地数学》里提到，古代及中世纪的三角学研究中，常以圆形和圆弧作为参照物，而非三角形本身，这一观点值得关注，并且圆形在几何学的论证过程中，有时会出乎意料地被应用。求一个数的平方根，可以用外接圆中相叠的圆来实现，这是普遍适用的方法，图1就展示了如何求3的平方根，具体步骤清晰可见。
图1：求平方根
由于半圆中包含的角为90度，图1所展示的各个三角形彼此之间具有相似性。假定a的值为1，b的数值为3。接着，依照相似三角形所遵循的几何原理：
也就是说，垂线x的长度就是3的平方根值。借助恰当数量的圆圈，并且把首个半径设定为1，能够用任何数值来替换b。
扭索饰和所罗门结
一种在多种文化中常见且经典的环形图案是盘绕纹样，如图2所示。这种纹样被韦伯斯特称作“由松散缠绕的带状物构成的装饰图案，其空隙部分装饰有圆形构件”，并且存在多种变体形式。图2和图3呈现了公元前7世纪亚述风格设计的一个当代演绎实例。
图2：现代扭索设计
图3：公元前7世纪亚述饰带
环形编织物称作所罗门结，这种编织方式在漫长的岁月里备受青睐，如图4所示，它能够借助不限数量的环状物和彩色带子来编织而成。
图4：所罗门结的两个版本
广义n圆扭索可以用以下方式构造。
在环形区域内放置n个圆，让它们互相接触。参考图5。将圆平均分成n个相同的区域，这样就能实现。参考图6。将角度θ均等划分。在等分线与外圈相遇的地方，绘制一条切线。画出切线对应的半径，确定其中心点，然后画一个圆。重复这个步骤n - 1遍。
2.根据需要画出更大和更小的圆，形成一个带状图7。
3.擦去适当的线条，形成所需的带状交织。
图5~7
达芬奇的月牙形
列奥纳多·达芬奇生于1452年，卒于1519年，在生命后期才开始关注几何学，但从此便持续深入地钻研这门学科，直至生命终结。他对于月牙形态的运用有着特别的偏好，为此绘制了若干页精美的草稿，上面密密麻麻地分布着超过一百七十个半圆形的图形，这便是他著名的“月牙形”。在这组图案中，部分区域被着色填充，似乎意在说明他在每个设计里都体现了面积保持不变的原则。在每一幅图中，填充的部分总是具有相同的总面积。
众多图像都以图8的结构为基准，两个灰色区域的面积相同，这一点可通过后续推理来阐释，外圆的半径设为1，则整个圆的面积便等于π，半径为1/2的内圆面积是π/4，内圆上半部分的面积则为π/8，图12中的灰色部分面积也与此相当，因为该区域的角度为45度，图8所呈现的，正是这两个相等区域之间唯一的不同之处。也就是说，这两个灰色区域面积必定相等。
图8~12
当前能够观察到，一个侧面被划分为八个面积相等的部分，其中六个呈现为 "杏仁形"，另外两个则是 "钩形"。每次可以选择任意四个区域进行填充。能够产生的不同组合方式，等同于从n个不同物件中挑选出四个物件的所有可能搭配，总数为七十种。研究者制作了包含所有七十种双对称设计的完整清单，而图十三仅呈现了其中四种设计方案。达芬奇在他的画作中呈现了这四个图形，他还绘制了其他形态，但并非七十种图案的完整集合。不过，存在大量其他等面积组合，他也确实加以呈现。部分内容已在前文提及，其余则属于当前研究范畴。
图13：在七十种组合方式里，挑选出四种进行展示，所有被着色部分的尺寸完全一致。
扇形的面积
扇形占据的平面空间大小，可以通过夹角θ的度量值来确定。准确数值依据下列公式计算得出：
图14显示，90度区域呈现浅灰色，其半径为二分之一，所占面积计算结果为八分之一乘以二分之一减一，约等于零点零七一三五平方单位。该部分可视为基本构成要素，因为所有先前方案均以此为基础构建。图15中，灰色区域面积达到零点一四二七平方单位，相当于两个基本要素的面积总和。这种构造方式在达芬奇的设计图中亦有体现，如图16所示。同样，填充区域的面积相等。
图14~16
圆形设计的后期使用
圆形的巧妙运用持续了数个朝代，并且深深植根于诸多文明之中。目前只能进行初步概述，其实还有更多值得探讨的方面。其中两种应用与几何学和艺术领域关联密切，一种是公元八世纪精妙的凯尔特螺旋纹饰，另一种是中世纪哥特式建筑中雅致的彩色玻璃窗设计。
十九世纪和二十世纪美国两位顶尖建筑设计师在其创作中也运用了圆形元素。路易斯·沙利文这位1856年至1924年的建筑师凭借其繁复的装饰艺术风格和众多建筑作品而广为人知。他最突出的设计之一便是1893至1894年间为芝加哥证券交易所大楼打造的那个圆形电梯装饰。请参看图17。
图17：路易斯·沙利文的“电梯格栅”(1894年)
弗兰克·劳埃德·赖特生于1867年，卒于1959年，他因独创的草原式建筑而广为人知，这种风格特别注重展现宽广的地面视野，他常常在作品中融入几何图案作为装饰元素，图18呈现的是他1912年设计的一扇窗户，这扇窗户是为伊利诺伊州里弗赛德的艾弗里·库恩利剧场而建，其显著特征是多个色彩明快的圆形图案，这些圆形意在象征气球
图18：弗兰克·劳埃德·赖特的剧场窗户(1912)
探究某个特定设计符号在各个历史阶段及不同文明中的演变过程，十分引人入胜。圆形无疑是最基础的图形之一，然而它在美观设计和实际用途方面的涉及范围相当宽广。有的文明几乎不用它，有的文明却大量运用它。纯粹为了功能而使用的情况，涵盖了解析几何学原理的阐释，以及建筑构件的构造。科技的发展也产生了相应的影响。新兴科技面世之后，勇于探索的设计师得以借助这些工具拓展其艺术疆域。归根结底，圆的精妙呈现主要得益于画家、建造师以及数学家们的智慧结晶。
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