平面的定义、画法、表示方法及与直线的关系全解析

时间：2025-07-12作者：admin分类：排版与出版物设计浏览：5评论：0

（1）平面无厚度；

（2）平面面积无法测量；

（3）平面是无限延伸的；

（4）平面内的一条直线将平面分成两部分；

（5）一个平面将空间分成两部分。

定义播报

在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

平面的画法播报

（1）水平的平面可以画成一个平行四边形；

平面

当平面处于水平状态，需将平行四边形的锐角设定为45度，钝角则应描绘为135度，同时横边的长度应为邻边长度的两倍。

（3）看不见的线段画成虚线或不画。

平面表示方法

一般将希腊字母α、β、γ标记在角上，例如：标注平面α、平面β。

以四个顶点字母或两个相对顶点字母来标识平面，例如：平面ABCD或平面AC。

平面与直线播报

点A位于平面α之中，可表示为A属于平面α；而点B不包含在平面α之中，可记作B不属于平面α。

若点P位于直线l之上，则表示为P属于直线l；而若点P不在直线l上，则表示为P不属于直线l。

若直线l上的每一个点均位于平面α之中，则可认为直线l位于平面α内部，亦或是平面α穿过直线l，用符号表示为l包含于α；反之，若直线l上的点不在平面α内，则称直线l位于平面α外部，用符号表示为l不包含于α。

4、平面α、β相交于直线l，记作α∩β=l。

若一条直线上的任意两点均位于某一平面之中，则该直线亦必然位于该平面之上。

公理二　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理三：若两个平面不重叠且共有一个交点，则它们之间仅存在一条经过该交点的唯一公共直线。

公理四平行于同一条直线的两条直线互相平行。

推论一　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二　经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论三　经过两条平行直线，有且只有一个平面。

平面相交判定

如果两个平面有一个公共点，就说这两个平面相交。

线面平行判定

若一条直线位于该平面之外，且与平面内的一条直线保持平行关系，那么这条直线便与该平面平行。

平面平行判定

若在一个平面之中存在两条相交的直线，并且这两条直线均与另一个平面保持平行状态，则可以断定这两个平面彼此平行。

二　垂直于同一条直线的两个平面平行。

线面平行性质

若一条直线与某个平面保持平行关系，那么通过这条直线的任何平面与那个平面的交界线也将与该直线保持平行状态。

平面平行性质

若两个平行的平面均与另一平面有交点，则这两个平面之间的交线也将保持平行状态。

若一条直线位于某一平面之中，则与此平面呈平行关系的另一平面也将与该直线保持平行状态。

线面垂直判定

若一条直线与平面内的两条相交直线均成垂直关系，则该直线与该平面亦构成垂直状态。

若一条直线与某个平面成垂直关系，则与之平行的任何直线也将与该平面保持垂直状态。

平面垂直判定

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

线面垂直性质

一垂直于同一个平面的两条直线平行。

二若直线垂直于平面，则直线垂直于这个平面的所有直线。

三平行于同一条直线的两条直线互相平行。

平面垂直性质

若两个平面相互垂直，那么位于其中一个平面内且垂直于两平面交线的直线，也将与另一个平面保持垂直状态。

(1)α∩β=A→α∩β=l,l⊂α

(2)l⊄α,l//m,m⊂α→l//α

m属于α集合，n也属于α集合，m与n的交集为空集，且m平行于β，n平行于β，则可推出α平行于β。

(4)α⊥l,β⊥l→α//β

(5)l//α,l⊂β,α∩β=m→l//m

(6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m

(7)α//β,l⊂α→l//β

(8)l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m⊂α,n⊂α→l⊥α

(9)m//n,α⊥m→n⊥α

(10)l⊂α,l⊥β→α⊥β

(11)α⊥m,α⊥n→m//n

(12)l⊥α,m⊂α→l⊥m

(13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m⊂α→m⊥β

平面方程播报

依据定义，我们设定动点M的坐标为（x，y，z），并且选取了两个固定点，它们的坐标分别是（a，b，c）和（d，e，f）。

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2

^1/2=

(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2

^1/2

平面画法步骤_平面设计排版教程排版设计基础_平面几何定义

在等式x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)中，当我们将各项与等式x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)相对应时，可以发现它们完全一致。

(2d减去2a)乘以x，加上(2e减去2b)乘以y，再加上(2f减去2c)乘以z，最后加上a的平方减去d的平方加上b的平方减去e的平方加上c的平方减去f的平方，结果等于零。

平面的法向量播报

选取平面上的三个点：A点坐标为(0,0,-d/c)，B点坐标为(1,1,-(d+b+a)/c)，C点坐标为(0,2,-(d+2b)/c)。向量AC的坐标为(0,2,-2b/c)，向量AB的坐标为(1,1,-(a+b)/c)。设向量n的坐标为(x,y,c)，它代表平面的法向量。根据向量的关系，可以列出方程组：2y-2b=0，x+y-(a+b)=0。解这个方程组得到y=b，x=a。因此，向量n=(a,b,c)是平面上的一条法向量。

直线切割平面播报

直线切割平面是指用直线将平面划分成多个部分。

n条直线最多将平面分割成1+

个部分，最少将平面分割成1+n个部分。

证明：当存在一条直线时，将其分割后的最少部分数为2，而最多则可分割为1部分加上1部分，总计2部分。

若存在两条直线，则分割区域的最小数量为三，最大可达一加一加二，即四，在此情形下，两条直线相交于一点。

当存在三条直线时，它们至少可以将平面划分为四个区域，而最多则可以划分为七个区域，即一、一、二、三的组合，此时这三条直线共形成三个交点。

若直线条数为n，则分割出的平面数量最多可达a个，最少则不少于b个，且存在一定的规律性。

a=1+1+…+（n-1）+n=

+1，此时n条直线有n个交点；b=1+n；

圆切割平面播报

圆切割平面是指用圆将平面划分成多个部分。

n个圆形最多可以将平面划分为2n加上n(n-1)个区域，而最少则能将其分割成2n个部分。

设n个圆最多可以把平面分成S(n)个部分

前n-1个圆最多将平面划分为S(n-1)个区域，此时，第n个圆与之前的n-1个圆最多存在2(n-1)个交点，这意味着这个第n个圆最多会被这2(n-1)个交点分割成2(n-1)段圆弧。每当增加一段圆弧，就能将一个区域一分为二（建议结合图形进行理解）。因此，第n个圆使得平面的区域数增加了2(n-1)个。由此，我们可以得出递推公式：

由此递推关系式得到：

即n个圆最多可以把平面分成2+n（n-1）个部分。

证明最少同直线。

三角切割平面播报

三角形切割平面是指用三角形将平面划分成多个部分。

n个三角形最多可将平面划分为3n(n-1)加2个区域，而最少则能将其分割成2n个部分。

证明：平面原本构成一个整体。当三角形被引入平面时，它将平面划分为三角形内部和外部两个区域，从而额外增加了一个部分。

当两个三角形彼此不接触时，它们会将平面划分为三个区域；一旦它们相交，交点的数量增加，平面被分割的区域也随之增多（如图1所示）。

图1 三角形切割平面

从图1中可以观察到，新增的部分数量与新增的交点数量保持一致，因此，在绘制第三个三角形时，应当力求每一条边所形成的交点尽可能增多。

针对每一个三角形，考虑到一条直线最多能与三角形的两边相交，因此，对于第三个三角形，其每一条边最多会与前面两个三角形的每一条边各产生两个交点，总计可以形成3乘以（2乘以2）等于12个交点，这也就意味着新增了12个部分。

因此，三个三角形能够将平面划分为：1部分加上1部分，再加上6部分，以及12部分，总计达到20个部分。